[Remue-Méninges] Problèmes chiffrés

[Agifem]

Calculatrice interdite :

Effectuer les calculs suivants :
Prendre 1000 et y ajouter 40. Ajouter 1000.
Ajouter encore 30 et à nouveau 1000.
Ajouter 20. Ajouter 1000, puis 10.
Quel est le total ?

[Saiko]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('3e001587d5412b8e3a3d8d700d84124d')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="3e001587d5412b8e3a3d8d700d84124d" style="display:none">mort de rire je me suis fait avoir comme un bleu </div>

[Rodriguez Alcanzar]

*Cherche où est le piège*


<div class="spoilertop" onClick="openClose('590f43fc8b4b6f3591ebcad6a07922c2')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="590f43fc8b4b6f3591ebcad6a07922c2" style="display:none">Euuuh ben juste en calculant de tête je trouve 4100, mais ça ferait trop simple comme énigme :heu: </div>

[Agifem]

Ah, et interdit de copier sur votre voisin ! *attendra quelques réponses avant de dire qui a la bonne réponse*

[Ben-jXX]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('3532aa26ebd043873f34d86c6f498bc1')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="3532aa26ebd043873f34d86c6f498bc1" style="display:none">5000... Nan je déconne 4100 :notme: </div>

[Mekren le maudit]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('d61aeb63cfad8d8c3d6a31b5300cb525')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="d61aeb63cfad8d8c3d6a31b5300cb525" style="display:none">Je dois passer à côté d'une astuce, là, je trouve 5000 moi... M'enfin, faut bien un gog qui se fasse avoir, hein, non? Voilà, la porte ouverte est enfonçée, à vous les studios.</div>

[Elzen]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('d0960a5fd23eeb1a23f371dea8174103')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="d0960a5fd23eeb1a23f371dea8174103" style="display:none">Bah, eùh... 4100, quoi... Où est la difficulté, au juste ? :..: Ou alors il y a un mauvais jeu de mot que j'ai pas remarqué planqué quelque part ?</div>

[Voyageuse]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('4a6752e942721657b130756fc1c2ad2c')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="4a6752e942721657b130756fc1c2ad2c" style="display:none">Ben... 4100, non?</div>

[Agifem]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('e3e339b59efaf89a48649969dd2e3c13')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="e3e339b59efaf89a48649969dd2e3c13" style="display:none">
La bonne réponse était 4100, et non 5000.

Explication : pour les premières opérations, on calcule juste sur le chiffre des dizaine et celui des milliers.

Pour la dernière opération, il y a une retenue à faire normalement sur le chiffre des centaines. Mais par "conformité" avec les calculs précédents, le cerveau reporte cette retenue sur le chiffre des milliers.</div>

[Saiko]

COCA + COLA = OASIS... La plupart d'entre vous auront envie de dire que c'est archi faux et même blashématoire, et pourtant, en remplaçant chaque lettre par un chiffre on peut montrer que c'est vrai .

[Agifem]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('0951a73b3be9873d4271db978caa008c')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="0951a73b3be9873d4271db978caa008c" style="display:none">
Sympa cette petite énigme.

Alors, on déduit :

S est pair, car la somme de A+A.

O = 1, car la retenue de C+C.

A+A=S+éventuelle retenue.
Donc A = 1 ou 6. Or comme O = 1, A = 6. Et S = 2.

C+C+éventuelle retenue=OA. Comme A = 6 (pair), il n'y a pas de retenue. 16 = C+C Donc C = 8.

8186 + 81L6 = 162I2.
Donc L = 0 et I = 9.

8186 + 8106 = 16292.
</div>

[Saiko]

Agifem à trouvé la bonne réponse :youpi: ce qui n'empêche pas les autres de se faire les dents sur cette énigme, avant d'essayer celles-ci qui sont du même genre :

SEND + MORE = MONEY (un peu plus dure)

XXXX + YYYY + ZZZZ = YXXXZ (assez facile)

ALORS + ALORS + NOUS + NOUS = LAVONS (encore plus dure !)

Pour info, ces énigmes sont appelées "Alphamétiques".

Au tour d'Agifem

[Agifem]

<div class="spoilertop" onClick="openClose('7bec0edfdc3821e2c37119d03d953ca9')" style="font-weight: bold">» Cliquez ici pour afficher le spoiler - Recliquez une nouvelle fois pour le cacher... «</div><div class="spoilermain" id="7bec0edfdc3821e2c37119d03d953ca9" style="display:none">
SEND
+
MORE
=
MONEY

M est une retenue, donc M = 1.

S+M+éventuelle retenue = MO.
Or M = 1, donc soit S = 9 et pas de retenue, alors O = 0, soit il y a une retenue, et S = 8 et O = 0, ou S = 9 et O = 1 sans retenue. Or le 1 est déjà pris, donc O = 0.
Il n'est pas possible qu'il y ait une retenue, donc S = 9.

E+O+éventuelle retenue=N+pas de retenue.
O = 0, donc il y a une retenue, et E = N+1.

N+R+éventuelle retenue = E+retenue
=> E-1+R+éventuelle retenue = E+1.
=> R+évenutelle retenue = 2.
=> R = 2 ou 3.

Ensuite, je sèche.


XXXX
+
YYYY
+
ZZZZ
=
YXXXZ

X+Y+Z = Z+éventuelle retenue.
Donc X+Y = 10, et il y a une retenue.

X+Y+Z+retenue = X+éventuelle retenue.
X+Y = 10 donc il y a une retenue.
Et Z+1=X.

X+Y+Z+retenue = YX.
Donc Y = 1.
Donc X = 9.
Donc Z = 8.

9999 + 1111 + 8888 = 19998.


ALORS+
ALORS+
NOUS+
NOUS=
LAVONS

S+S+S+S=S+éventuelles retenues.
Donc S = 0 et pas de retenue.

R+R+U+U=N+éventuelles retenues.
On n'apprend rien, à part que N est pair.

O+O+O+O+éventuelles retenues(max 3)=O+éventuelles retenues.
O*4+[0-3]=O+éventuelles retenues.
O = 3, O = 6 ou O = 9.

L+L+N+N+éventuelles retenues=V+éventuelles retenues.
On n'apprend rien.

A+A+éventuelles retenues(max 3)= A+retenues (L).
A = 7, A = 8 ou A = 9. Il y a 1, 2 ou 3 retenues avant, et L = 1.

<s>L+L+N+N+[1-3]=L+10*[1-3]
1+1+N+N+[1-3]=1+10*[1-3]
2*N+[2-4]=0+10*[1-3]
Solutions possibles pour N : 3, 4, 8, 9 ; or N est pair, donc on ne garde que 4 et 8. La retenue venue d'en dessous est donc soit 1, soit 3, et la retenue pour le niveau au dessus est soit 1, soit 2.
Donc A est soit 8, soit 9. Et O est soit 3, soit 9.</s>

Aaaaaaargggg ! *s'aperçoit qu'il s'est gourré, et déchire sa feuille*
</div>

[bazbazbin]

bon ben puisque je vois qu'il y a pas mal de ptits matheux ici je vais poser un problème un peu différent de ceux qui ont déjà été posés :

C'est un peintre qui a une toile blanche d'un mètre carré (1 mètre sur 1 mètre).
Malheureusement, il n'aperçoit pas un pot de peinture rouge à ses pieds, bute dedans et le renverse sur la toile (pauvre de lui!).

Il faut montrer que quelle que soit la manière dont se répand la couleur rouge sur la toile blanche, il y aura 2 points équidistants d'1 mètre qui seront de la même couleur (blanche ou rouge).

Vous inquiétez pas, la démo la plus facile se fait en une phrase.

[bazbazbin]

hola chicos (as)
Bon je vois ke vous n'avez pas la réponse.

Il fallait tracer un triangle équilatéral d'un mètre de coté dans la surface carrée d'un mètre sur 1 mètre.

Ensuite, ce triangle a trois points distants de 1 mètre, il n'y a que 2 couleurs sur la toile... donc forcément 2 points des trois sommets du triangle sont de la même couleur.

Voilà

[Voyageuse]

Pas mal... Je ne voyais pas comment prouver simplement quelque chose qui paraissait aussi évident (bon faut avouer que j'ai pas cherché plus de 3 minutes)
Tu en as d'autres comme ça?

[bazbazbin]

j'en ai d'autres, j'en ai d'autres mais elles sont quand même plus difficiles, il faut avoir fait un ptit peu de maths.
M'enfin si tu veux essayer,
On dispose de 101 poids en cuivre marqués de1 gramme, 2 grammes, 3 grammes jusqu’à 101 grammes. On perd la masse marquée de 19 grammes. Est-il possible de partager l’ensemble des 100 poids restants en deux groupes ayant le même nombre d’éléments et ayant le même poids total.

[Saiko]

1ère tentative de réponse :

► Afficher le texte

Gauss le faisait les doigts dans le nez étant gamin, et montrait que la somme des 100 premiers termes = 50 * 101

En couplant 1 avec 100, 2 avec 99, 3 avec 98, on arrive donc à 50 couples dont la somme fait 101, que l'on peut répartir de part et d'autre d'une balance.

On obtient donc 25 couples à GAUCHE et 25 couples à DROITE, ce qui signifie que l'on a 50 poids à GAUCHE et 50 poids à DROITE. La balance est équilibrée.

Ajoutons le poids 101 à GAUCHE.

On a 51 poids à GAUCHE et toujours 50 à DROITE, avec un déséquilibre de 101 grammes en faveur de la GAUCHE.

Imaginons que l'on ait mis le couple (19, 82) à DROITE. On retire le poids 19 de la balance de DROITE. On a alors 51 poids à G et 49 poids à D. Le déséquilibre est donc de 101+19=120 grammes en faveur de la G.

En prenant un poids de G pour le mettre à D, on rééquilibre au niveau du nombre de poids. Il faut donc prendre le poids qui va aussi réequilibrer la balance au terme de pesée. Le poids de 60 est parfait pour cela, on va donc supposer qu'on l'avait mis à G, pour maintenant le transférer à D.

Et le tour est joué !

[bazbazbin]

bien, bien! en fait c'était pas ça le truc dur que j'ai vu sur un site (je l'ai enlevé parceque il faisait appel à des notions de maths plutôt avancées mais si vous voulez le faire je vous donne le lien Probabilités et le probleme que je voulais mettre était le G104 l'énoncé est assez facile à comprendre mais la solution l'est moins, le G103 est plus abordable).

Sinon j'ai un autre petit problème de proba :
On tire 2 nombres entre 1 et 100 (cela peut-être 2 fois le même) et on garde le plus petit des 2.
Quelle est la moyenne sur un grand nombre de tirages ??

[Agifem]

A vue de nez :

► Afficher le texte

33,8, c'est à dire 100/3+0,5. Bon, d'accord, mon tableur a fait 10 000 tirages pour moi, mais c'était déjà ma réponse instinctive ! Sisi !

[Saiko]

Je propose ceci, mais je le mets même pas en Spoiler tellement c'est du gros...

La probabilité qu'un nombre N soit retenu consiste en deux étapes.

1. Que N apparaisse au moins une fois dans le tirage. Une chance sur 100 au premier tirage, ce qui joue le tour. Et si jamais ça n'a pas marché au premier tour alors on remet ça au deuxième tour. Si on fait un "arbre" des probabilité (4 branches à la fin seulement), on calcule rapidement que la probabilité que N soit tiré est de 199/10 000.

2. Que N soit plus petit ou égal que l'autre nombre M. Si on trace sur un axe des abscisses le nombre M et sur un axe des ordonnées le nombre N et qu'on colorie la zone plan où N est plus petit que M, alors on obtient un demi carré, ce qui signifie que la probabilité que M<N est de 0.5

Au final, P(N) = 199 / 10 000 * 0.5 = 0.00995 = env. 0.01

Voilà, je viens tout juste de vous démontrer que la probabilité qu'un nombre entre 1 et 100 sorte est de 1/100

*salue la foule en délire et se retire méditer sur son sort*

[Saiko]

Alors je trouve le même résultat qu'Agifem, mais avec la démonstration (vive les amphis d'automation).

► Afficher le texte

La moyenne est égale à la somme des possibilités par leur probabilité :

MOYENNE = SOMME ( n*P(n))

Or, pour qu'un nombre n sorte, il faut soit qu'il sorte au premier tirage en étant plus petit que le deuxième, soit qu'il sorte au deuxième tirage en étant plus petit que le premier (vous me suivez toujours :P ?)

On écrit ça comme ça : P(n) = P[(X1 = n ^ X1=<X2) U (X2 = n ^ X2=<X1)]

(^ est l'intersection de deux ensembles et =< est le symbole pour "inférieur ou égal")

Ce qui est équivalent comme on nous l'apprend au collège à :

P(n) = P(X1 = n ^ X1=<X2) + P(X2 = n ^ X2=<X1)
- P[(X1 = n ^ X1=<X2) U (X2 = n ^ X2=<X1)]

Si on réfléchit bien sur le dernier terme de la somme, on se rend compte qu'il est équivalent à P(X1 = X2) = P(X1=n ^ X2=n) = P(X1=n)*P(X2=n) =' 1/100 * 1/100 = 1/10 000

' parce que les évènements sont indépendants

On peut aussi se rendre compte que les deux premiers termes sont en fait identiques donc on peut écrire :

P(n) = 2 * P(X1 = n ^ X1=<X2) - 1/10 000

En réflechissant sur un schéma pris avec 3 au lieu de 100, on remarque que :

P(X1 = n ^ X1=<X2) = 1/N * (N+1-n)/N = (N+1-n) / N²

ou N=le nombre de possibilités (100 dans notre cas)

Donc on a P(n) = 2(N+1-n)/N² - 1/N² = (2N+1-2n)/N²
On revient sur notre formulation de la moyenne :

MOYENNE = Somme (nP(n)) = Somme (2Nn + n - 2n²)/N²

= 1/N² * [(2N+1)*Somme(n) - 2*Somme(n²)]

La somme des 100 premiers nombres égale 5050
La somme des 100 premiers carrés égale 338350

donc MOYENNE = 1/10 000 * (201*5050 + 2*338350) = 33.8

CQFD !

[Voyageuse]

Je fais une allergie aux démos de stats (j'ai découvert ce domaine seulement en passant mon CAPES et ça m'a pas enthousiasmée), donc j'ai tendance à résoudre tous les problèmes simplement en dénombrant...

► Afficher le texte

les couples de nombres tirés vont de (1;1), (1;2),.... jusqu'à (100;99), (100;100). Il y a donc 10000 tirages possibles.
Pour chaque tirage on prend le plus petit des deux nombres.

Combien de tirages donneront 1?
il s'agit des couples : (1;1), (1;2), (1;3)...(1;100), mais aussi (2;1), (3;1),... (100;1), il y en a donc : 100 + 99 = 199
Combien de tirages donneront 2?
il s'agit de : (2;1), (2;2)... (2;100) et aussi (3;2), (4;2),... (100;2), il y en a donc : 99 + 98 = 197

Etc : il y aura 195 couples dont le plus petit nombre est 3,...
Si on veut une formule, par itération : il y a 199 - (n-1)*2 couples dont le résultat sera n
A la fin : 5 couples dont le min est 98, 3 couples pour 99, et 1 seul tirage pour 100.

Bref, il faut calculer une "espérance de gain", en somme...
On calcule : 1*199 + 2*197 + 3*195 + 99*3 + 100*1, et on divise par le nombre de tirage, soit 10000

J'ai un peu la flemme de considérer ça comme des suites ou des séries : la somme, pour n allant de 1 à 100, de n*(199-(n-1)*2), c'est un peu compliqué...
Je prends donc mon tableur préféré, et en un rien de temps il me donne le résultat :

La moyenne obtenue est : 33,835

Ca ne vaut sans doute pas une démonstration, mais au moins j'y comprends quelque chose...

Edit : c'est bizarre, j'ai pas exactement le même résultat que les autres... à 35/100 près, c'est pas grand-chose...

[Saiko]

coucou Voyageuse, belle démonstration aussi surement plus simple à comprendre. La raison pour laquelle tu ne trouves pas tout à fait comme moi c'est que nous on a arrondi :P

[bazbazbin]

bravo bravo !!!

Agifem moyen parcequ'il n'a pas donné de démonstration

Voyageuse et Saiko, la grande classe (mais Saiko a trouvé avant ).

Je reposterai si j'en trouve un autre un jour.